世界系手–相机运动指标

2026-09-14 修订 · world_motion_v2.0 · 仅用于 evaluation，training_allowed=false。来源为 2026-09-11 设计稿；原稿存档随实验报告保留。本页修正 RHAM、WMS 百分位、连续/离散混用与 D 类解释。公式使用浏览器原生 MathML，无需外部脚本。

这些量描述手腕与相机的运动强度和相对运动，不是相机位姿精度，不证明因果独立，也不测量手指活动。所有轨迹需在同一米制世界系和同一时间轴。缺失标注为 unknown / NaN；不能解释成静止。

符号与输入契约

符号	定义、单位
t，tᵢ，Δtᵢ	时间、帧 i 的采集时间、tᵢ₊₁−tᵢ，单位秒。ARCTIC 使用官方帧号减 subject ioi_offset 后除 30 Hz；不是实测 PTS。
Rᵢ，R(t)	相机向量旋转到世界系的 SO(3) 矩阵，无量纲。T_world_camera 的左上 3×3。
cᵢ，pᵢ	世界系中的相机光心和某一侧手腕位置，单位米。每侧分别计算。
R_WH，Qᵢ	手腕坐标到世界系旋转、手腕到相机系的相对旋转，无量纲。
v_H，v_C，ω_C	世界系手腕速度、光心速度（m/s）、相机世界角速度（rad/s）。报告角速度可转换为 deg/s。
u_C	相机刚体速度场在手腕所在位置的速度，m/s。并非光心速度。
‖·‖，×，ᵀ，Log，∨，angle	欧氏范数、三维叉积、转置、SO(3) 主值矩阵对数、反对称矩阵转三维向量、旋转测地角（0 到 π 弧度）。
P₉₀，median，ε	有效区间样本第 90 百分位、中位数；ε=0.001 m/s。P90 以区间为样本；覆盖率按持续时间加权。

连续定义与物理意义

v_{H} = \frac{d p}{d t}, v_{C} = \frac{d c}{d t}, u_{C} = v_{C} + ω_{C} \times (p - c)

全部向量在同一时刻 t、同一世界系求值。叉积项是旋转在离光心一定距离的手腕处产生的线速度，所以相机纯旋转也能引起很大的相对运动。

WHM = ‖ v_{H} ‖, CMH = ‖ u_{C} ‖, RHCM = ‖ v_{H} - u_{C} ‖

三项单位均为 m/s，分别回答手腕在世界中多快、相机刚体运动在手腕处多强、手腕与相机刚体运动相差多少。另独立报告 ‖v_C‖（m/s）和 ‖ω_C‖（deg/s）；CMH 不能代替它们。

离散采样与精确有限步相对位移

q_{i} = R_{i}^{T} (p_{i} - c_{i}), {RHCM}_{discrete, i} = \frac{‖ q_{i + 1} - q_{i} ‖}{Δ t_{i}}

qᵢ 是该手腕在相机 i 中的位置（m），RHCM_discrete 的单位为 m/s。相邻坐标代表同一个相机固连坐标轴约定。它等于以下世界系残差的长度除时间：

\frac{‖ p_{i + 1} - [c_{i + 1} + R_{i + 1} R_{i}^{T} (p_{i} - c_{i})] ‖}{Δ t_{i}}

证明：世界残差等于 Rᵢ₊₁(qᵢ₊₁−qᵢ)，旋转保持范数。因此共同刚体运动时 q 恒定，有限步值严格为零。对 q 求导得到：

\frac{d q}{d t} = R^{T} [v_{H} - v_{C} - ω_{C} \times (p - c)]

所以随 Δt→0，有限步值收敛到连续 RHCM。有限 Δt 下不能宣称二者恒等。实现另保留连续估计：平移用前向差分，ω̂ᵢ=Log(Rᵢ₊₁Rᵢᵀ)∨/Δtᵢ，速度场的杠杆臂取 pᵢ−cᵢ。该起点约定有离散误差；12 rad/s、30 Hz 共同旋转的测试明确观察到残差，而精确有限步量接近浮点零。

不平滑 GT 或模型轨迹。实际数据另报告不同固定差分跨度的敏感性，但不得跨无效区间或用 T=8 缓存插值。角度主值要求相邻真实旋转小于 π；超出时采样混叠无法由两帧消除。

RHAM：相对朝向的变化率

Q_{i} = R_{i}^{T} R_{WH, i}, {RHAM}_{i} = \frac{angle (Q_{i + 1} Q_{i}^{T})}{Δ t_{i}}

式中角度为弧度，除秒后为 rad/s，网页乘 180/π 显示 deg/s。恒定但非单位的 Q 必须得到零。原稿的 angle(Qᵢ)/Δtᵢ 是朝向偏差除时间，不是角速度，已废弃。没有有效腕部旋转 GT 就输出未知。

WMS 与汇总

WMS (t) = \frac{‖ v_{H} - u_{C} ‖}{‖ v_{H} ‖ + ‖ u_{C} ‖ + ε}, 0 \leq WMS \leq 1

三角不等式保证界限；实现用同一组前向差分速度和起点速度场，因此也满足此代数界，无需 clip。只有 WHM+CMH≥0.02 m/s 才报告 WMS，低速留 NaN；ε=0.001 m/s，分数无量纲。有限步 RHCM 不进入该分母，不对其另行归一化声称同样界限。

{WMS}_{P90} = P_{90} (WMS (t)) \neq \frac{P_{90} (RHCM)}{P_{90} (WHM) + P_{90} (CMH) + ε}

右侧旧量只能另名为「边际 P90 比值」，不保证 [0,1]；网页不使用它。每侧输出 median、P90、有效区间数、有效持续时间和时间覆盖率。Spearman 仅为辅助：常量或不足三个有效区间时未知；本实现不估计 lag，避免给短序列伪精度。

静止、运动分层与有效性

控件 / 分层	定义（初始描述性阈值）
相机相对世界静止	光心速度 P90≤0.02 m/s 且角速度 P90≤3 deg/s。
手腕相对世界静止	WHM P90≤0.02 m/s；按左右侧分别判断。
手腕位置相对相机静止	RHCM_discrete P90≤0.02 m/s；这不是朝向静止证书。姿态相对静止还需有效 RHAM P90≤3 deg/s。
高运动	手 WHM≥0.3 m/s；相机光心≥0.15 m/s 或角速度≥25 deg/s；相对位置 RHCM≥0.3 m/s。其余非静止有效样本为低运动。
共同运动 / 高速跟随	结合相机高、手高、相对位置静止三项。真实总体没有这种片段时返回零条。
手高 + 相对运动高	不自动推导相机也高；相机平移与转动必须独立判断。

分类需有效持续≥2 秒且时间覆盖≥90%；P90 标签描述片段主要状态，允许至多约10%的较高速度，不能证明每一瞬间静止。速度只在相邻两端有效、时间递增且间隔≤1.5倍标称间隔时计算，断帧不连线。网页默认 any：优先高运动侧，其次低运动侧，再其次静止侧，全部未知则未知；数值显示有值侧最大 P90。both 要求两侧各自有效并满足同一条件；详细导出保留左右侧，不能用 any 静止声明双手静止。

GT 噪声不是零。上述静止阈值为可审查的初始规则，未通过独立静止标定序列认证；报告保留原始分布及 0.01/0.02/0.05 m/s、1/3/5 deg/s 的阈值敏感性。不能把历史 0.3 m/s、25 deg/s 当成已验证标准。

ARCTIC 参考来源与已验证范围

选择官方 P2 ego view 0。相机标定和 mocap marker 推导的轨迹、MANO 拟合参数、从 MANO 导出的关节分别记录，不称「全部精确 GT」。官方 ego cropped_images 是全视野 0.3 缩放，图像先以对应 K、dist8 去畸变；K 同步缩放。关节重排、单位、subject offset、模型文件 SHA256、标注 SHA256 和原帧号均随 NPZ/JSON 导出。投影在画面内不是没有遮挡；遮挡状态未由这个适配器认证。fitting_err 的官方文档字段解释有误，保留原始单位，不猜测毫米阈值。

合成验证包含双方静止、共同平移、带偏置共同刚体旋转、手固定相机运动、仅腕旋转、非单位恒定相对朝向、世界刚体变换不变性、不规则秒时间、缺侧与无效区间、常量相关性、高角速度离散误差。实测统计与模型精度请阅读本轮独立实验报告；不从指标预设高 RHCM 一定导致相机误差大。

官方来源：ARCTIC 数据格式、world2ego 构建、ego 图像缩放与 offset。